Numere Naturale

Factorul comun

Datorită proprietății înmulțirii denumită distributivitate, putem scrie :

dar putem scrie și invers :

Ați putea aprecia că acest mod de calcul este mai complicat dar sunt cazuri în care factorul comun ne poate fi de ajutor.

Rezolvați în minte următorul calcul :

Rezolvare

1. Calculează dând factor comun: 12 · 13 + 12 · 27 – 12 · 40.

Rezolvare

12 · 13 + 12 · 27 – 12 · 40 = 12· (13 + 27 – 40) = 12 · (40 - 40) = 12 · 0 = 0

2. Dați factor comun și apoi aflați rezultatul :

3 · 11 + 3 · 9 = ;
‎ 15 · 17 + 5 · 9 = ;
‎ 2 · 5 + 4 · 7 + 6 · 11 = ;

Rezolvare

Urmăriți factorul comun colorat cu verde :
‎ 3 · 11 + 3 · 9 = 3(11 + 9) = 3·20 = 60
‎ 15 · 17 + 5 · 9 = 5 · 3 · 17 + 5 · 3 · 3 = 15 (17 + 3) = 15 · 20 = 300
‎ 2 · 5 + 4 · 7 + 6 · 11 = 2 · 5 + 2 · 2 · 7 + 2 · 3 · 11 = 2 (5 + 2 · 7 + 3 · 11) = 2 (5 + 14 + 33) = 2 · 52 = 104

3. Dați factor comun în următoarele exerciții :

3a + 3b;
‎ 15a + 10b;
‎ 2 · a + 4 · b + 6 · c;

Rezolvare

3 a + 3 b = 3(a + b)
‎ 15a + 10b = 5 · 3 · a + 5 · 2 · b = 5(3a + 2b)
‎ 2 · a + 4 · b + 6 · c = 2 · a + 2 · 2 · b + 2 · 3 · c = 2(a +2b + 3c);
‎

4. Să se calculeze rapid: 4 · 20 + 4 · 5.

Rezolvare

4 · 20 + 4 · 5 = 4 · (20+5) = 4 · 25 = 100

5. Răzvan și Mircea se joacă volei pe plajă și pentru fiecare punct câștigat fiecare băiat trebuie să doneze celuilalt trei scoici. Răzvan câștigă 18 puncte iar Mircea 21. Ei sunt de acord să facă schimbul de scoici la final. Câte scoici trebuie să îi dea Mircea lui Răzvan? Calculați folosind factorul comun.

Rezolvare

21 · 3 – 18 · 3 = 3 (21 – 18) = 3 · 3 = 9

6. Calculați, utilizând factorul comun: 25 · 63 + 25 · 37.

Rezolvare

25 · 63 + 25 · 37 = 25 · (63 + 37) = 25 · 100 = 2500

7. Scrieți numerele 13 · 3 + 13 · 5 și 17 · 9 - 34 · 3 ca un produs de două numere naturale.

Rezolvare

13 · 3 + 13 · 5 = 15 (3 + 5) = 15 · 8
‎ 17 · 9 – 34 · 3 = 17 · 9 – 17 · 2 · 3 = 17(9 – 2 · 3) = 17( 9 – 6 ) = 17 · 3

8. Știind că a = 9 și b + c = 20, calculați : ab + ac + b + c = ? a · a + a · b + a · c = ?

Rezolvare

ab + ac + b + c = a (b+ c) + b + c = 9 · 20 + 20 = 20(9 +1) = 20 · 10 = 200
‎ a · a + a · b + a · c = a ( a + b + c ) = 9 ( 9 + 20) = 9 · 29 = 261

9. Calculați rapid folosind factorul comun:

a) 2021 · 2030 – 2023 · 2021 – 7 · 2000 =

b) 2021 + 2021 · 2 + 2021 · 3 + 2021 · 4 + ... + 2021 · 20 =

c) 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 50 =

Rezolvare

a) 2021 · 2030 – 2023 · 2021 – 7 · 2020 = 2021 (2030 – 2023) – 7 · 2020 = 2021 · 7 – 7 · 2020 =
‎ = 7 (2021 – 2020) = 7 · 1 = 7
‎
‎ b) 2021 + 2021 · 2 + 2021 · 3 + 2021 · 4 + ... + 2021 · 20 = 2021 (1 + 2 + 3 + ... + 20) =
‎ În continuare avem o sumă Gauss, suma primelor 20 de numere naturale.
‎ Suma primelor N numere naturale S = N(N+1) : 2 deci S = 20 · 21 : 2 = 210
‎ .
‎ Putem afla suma Gauss chiar dacă nu știm formula de mai sus astfel :
‎ Adunăm numerele până la 20 de două ori astfel încât să formăm perechi care au valoarea egală cu 21.
‎ 1 + 2 + 3 + ... + 18 + 19 + 20 +
‎ 20 + 19 + 18 + ... + 3 + 2 + 1
‎ În total sunt 20 de perechi cu valoarea 21.
‎ Suma primelor 20 de numere naturale este egală cu S = 20 · 21 : 2 = 210
‎ Am împărțit la doi pentru că am adunat fiecare număr de două ori.
‎
‎ 2021 (1 + 2 + 3 + ... + 20) = 2021 · 210 = 424 410
‎ c) 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 50 = 5(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10)
‎ Observăm că trebuie să aflăm suma primelor 10 numere naturale. Este o sumă Gauss.
‎ S = N(N+1) : 2 deci S = 10 · 11 : 2 = 110 : 2 = 55
‎ 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 50 = 5 · 55 = 275

10. Aflați numărul natural a astfel încât a · b + a · c = 51 iar suma dintre numerele naturale b și c este 3.

Rezolvare

a · ( b + c ) = 51
‎ b + c = 3
‎ a · 3 = 51
‎ a = 51 : 3 = 17

11. Aflați numărul x dacă diferența dintre n și m este 10 iar numerele x, n și m sunt numere naturale.

a) x + 74n – 74m = 1000

b) nx + 4n = mx + 4m

c) 11  ⋅ n –  2x – 11   ⋅ m = 102

Rezolvare

a) x + 74n – 74m = 1000
‎ x + 74(n – m) = 1000
‎ x + 74 ⋅ 10 = 1000
‎ x + 740 = 1000
‎ x = 1000 – 740 = 260
‎
‎ b) nx + 4n = mx + 4m
‎ nx – mx + 4n – 4m = 0
‎ x(n – m) = 4(n – m)
‎ 10x = 40
‎ x = 4
‎ c) 11  ⋅ n –  2x – 11   ⋅ m = 102
‎ 11  ⋅ n – 11   ⋅ m = 102 + 2x
‎ 11 (n – m) = 102 + 2x
‎ 110 = 102 + 2x
‎ 2x = 8
‎ x = 4

12. Calculați folosind factorul comun.

a) 37 ⋅ 57 + (52 – 15) ⋅ 36 – 41 ⋅ (41 + 33) =

b) 2022 ⋅ 2023 – 1011 ⋅ 2024 + 2024 ⋅ (1999 + 23) =

c ) 1111 + 2222 + 3333 + ... + 9999 =

Rezolvare

a) 37 ⋅ 57 + (52 – 15) ⋅ 36 – 41 ⋅ (41 + 33) = 37 ⋅ 57 + 37 ⋅ 36 – 41 ⋅ 74 = 37 ⋅ 57 + 37 ⋅ 36 – 41 ⋅ 37 ⋅ 2 = 37(57 + 36 – 41 ⋅ 2) = 37(57 + 36 – 82) = 37 ⋅ 11 = 407
‎ b) 2022 ⋅ 2023 – 1011 ⋅ 2024 + 2024 ⋅ ( 1999 + 23 ) = 2 ⋅ 1011 ⋅ 2023 – 1011 ⋅ 2024 + 2024 ⋅ 1011 ⋅ 2 = 1011 (2 ⋅ 2023 – 2024 + 2 ⋅ 2024) = 1011 (2 ⋅ 2023 + 2024) = 6 136 770
‎ c) 1111 + 2222 + 3333 + ... + 9999 = 1111 + 1111 ⋅ 2 + 1111 ⋅ 3 + ... + 1111 ⋅ 9 = 1111 ( 1 + 2 + 3 + ... + 9) = 49 995

13. Calculați ab + ac + ad dacă a = 11 și a + b + c + d = 40.

Rezolvare

ab + ac + ad = a (b + c + d)
‎ b + c + d = 40 – a = 40 – 11 = 29
‎ a (b + c + d) = 11 ⋅ 29 = 319

14. Anca, Bianca și Coralia se pregătesc pentru Campionatul European de Atletism. Programul lor de pregătire de luni până vineri include efectuarea unui număr întreg de tururi de pistă de pe stadionul de atletism după cum urmează:

 luni: 3 tururi

 marți: 4 tururi

 mircuri: 6 tururi

 joi: 4 tururi

 vineri: 3 tururi

Care este distanța totală pe care fiecare o aleargă într-o săptămână dacă lungimea pistelor este notată mai jos iar sportivele le folosesc prin rotație așa cum este descris în tabel?

 pista nr. 1 – 400 m

 pista nr. 2 – 407 m

 pista nr. 3 – 415 m

Programul de ocupare al pistelor pe zile:

Rezolvare

Anca : 3 · 400 + 4 · 407 + 6 · 415 + 4 · 400 + 3 · 407
‎ Bianca : 3 · 415 + 4 · 400 + 6 · 407 + 4 · 415 + 3 · 400
‎ Coralia : 3 · 407 + 4 · 415 + 6 · 400 + 4 · 407 + 3 · 415
‎ Pentru a calcula totalul reordonăm termenii care au factori comuni.
‎ Total = 3 · 400 + 4 · 400 + 6 · 400 + 4 · 400 + 3 · 400 +
‎ 3 · 407 + 4 · 407 + 6 · 407 + 4 · 407 + 3 · 407 +
‎ 3 · 415 + 4 · 415 + 6 · 415 + 4 · 415 + 3 · 415 =
‎ 400 · (3 + 4 + 6 + 4 + 3) + 407 · (3 + 4 + 6 + 4 + 3 ) + 415 · (3 + 4 + 6 + 4 + 3) =
‎ 400 · 20 + 407 · 20 + 415 · 20 = 20 · (400 + 407 + 415) = 20 · 1 222 = 24 440 m

Chestionar

Puncte acumulate: 0 din 5

Identificați cel mai mare număr natural care poate fi factor comun în expresiile de mai jos.

1. 5 · 12 + 5 · 13 + 10 · 7

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

5 · 12 + 5 · 13 + 10 · 7 = 5(12 + 13 + 2 · 7)

2. 7 · 2 + 14 · 5 + 10 · 7

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

7 · 2 + 14 · 5 + 10 · 7 = 14(1 + 5 + 5)

3. 10 · (2 + 15) + (45 – 28) · (54 – 11)

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

10 · (2 + 15) + (45 – 28) · (54 – 11) = 10 · 17 + 17 · 43 = 17(10 + 43)

4. 50 · 64 – 9 · 39 + 10 · 42

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

Nu există un factor comun mai mare decât 1.

5. 25 · 12 + 100 · 27 + 50 · 8

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

25 · 12 + 100 · 27 + 50 · 8 = 25 · 4 · 3 + 100 · 27 + 100 · 4 = 100(3 + 27 + 4)