Rapoarte și proporții     Proporții derivate

Vreau abonament pentru a avea acces la toate filmele. Selecție de lecții video

Rapoarte și proporții

Proporții derivate

Din proporția inițială :

Picture 1

putem obține alte proporții pe care le numim proporții derivate.

Proporții derivate cu aceiași termeni

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{d}\)

\(\frac{b}{a}\) = \(\frac{d}{c}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)

Exemple :

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{8}{4}\) = \(\frac{6}{3}\)

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{4}{8}\)

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{8}{6}\)

Proporții derivate cu termeni diferinți

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii termeni ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b·q}\) = \(\frac{c}{d}\); \(\frac{a }{b}\) = \(\frac{c·q}{d·q}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii numărători / numitori ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b}\) = \(\frac{c·q }{d}\); \(\frac{a}{b·q}\) = \(\frac{c}{d·q}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numitorii la numărători \(\frac{a+b}{b}\) = \(\frac{c+d}{d}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numărătorii la numitori \(\frac{a}{b+a}\) = \(\frac{c}{d+c}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numitorii din numărători \(\frac{a-b}{b}\) = \(\frac{c-d}{d}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numărătorii din numitori \(\frac{a}{b-a}\) = \(\frac{c}{d-c}\);

Picture 5

1. Dacă \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) atunci aflați cu cât este egal \(\frac{y}{x}\); x ≠ 0; y ≠ 0

Rezolvare

\(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) \(\frac{y}{x}\) = \(\frac{7}{5}\)

2. Dacă \(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) , aflați \(\frac{x}{y}\) ; y ≠ 0.

Rezolvare

\(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) 13x = 15y \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{15}{13}\)

3. Știind că \(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) aflați \(\frac{a}{b}\); b ≠ 0.

Rezolvare

\(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) 5(a-2b) = 2a + b 5a – 10b = 2a + b 3a = 11b \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{11}{3}\)

4. Suma a două numere este 70 iar raportul lor este \(\frac{2}{5}\). Care sunt aceste numere?

Rezolvare

a + b = 70; \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{2}{5}\)
Scriem o propor ție derivată prin adunarea numitorului la numărător :
\(\frac{a+b}{b}\) = \(\frac{2+5}{5}\)
\(\frac{70}{b}\) = \(\frac{7}{5}\)
b = \(\frac{70·5}{7}\) = 10·5 = 50
a = 20
Proba:

a+b = 50+20 = 70
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{20}{50}\) = \(\frac{2}{5}\)

5. În compoziția de mai jos, artistul dorește să plaseze arborele astfel încât raportul dintre segmentul AB și BC să fie \(\frac{3}{5}\). Stiind că lățimea tabloului AC este de 80cm aflați lungimea segmentului AB notată în figură cu x.

Picture 2

Rezolvare

x + BC = 80; \(\frac{x}{BC}\) = \(\frac{3}{5}\)
Scriem o propor ție derivată prin adunarea numărătorului la numitor :
\(\frac{x}{BC + x}\) = \(\frac{3}{5+3}\)
\(\frac{x}{80}\) = \(\frac{3}{8}\)
x = \(\frac{80·3}{8}\) = 10·3 = 30

Despre noi

Realizăm lecții de matematică
interesante și captivante care pot
fi folosite atât la clasă cât și acasă.

Un proiect susținut de mindfactory.ro
Cursuri extraordinare pentru copii.

Referințe și documentare

Contact

bd. Ion Mihalache 327
Sector 1, București
Tel.: 0723302859
contact@mquest.ro

powered by mindfactory.ro