Rapoarte și proporții Proporții derivate
Selecție de lecții videoRapoarte și proporții
Proportii derivate
Exerciti
Proporții și cârnați
Din proporția inițială :
putem obține alte proporții pe care le numim proporții derivate.
Proporții derivate cu aceiași termeni
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{d}\)
\(\frac{b}{a}\) = \(\frac{d}{c}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)
Exemple :
\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{8}{4}\) = \(\frac{6}{3}\)
\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{4}{8}\)
\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{8}{6}\)
Proporții derivate cu termeni diferinți
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii termeni ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b·q}\) = \(\frac{c}{d}\); \(\frac{a }{b}\) = \(\frac{c·q}{d·q}\);
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii numărători / numitori ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b}\) = \(\frac{c·q }{d}\); \(\frac{a}{b·q}\) = \(\frac{c}{d·q}\);
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numitorii la numărători \(\frac{a+b}{b}\) = \(\frac{c+d}{d}\);
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numărătorii la numitori \(\frac{a}{b+a}\) = \(\frac{c}{d+c}\);
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numitorii din numărători \(\frac{a-b}{b}\) = \(\frac{c-d}{d}\);
\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numărătorii din numitori \(\frac{a}{b-a}\) = \(\frac{c}{d-c}\);
1. Dacă \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) atunci aflați cu cât este egal \(\frac{y}{x}\); x ≠ 0; y ≠ 0
\(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) ⇒ \(\frac{y}{x}\) = \(\frac{7}{5}\)
2. Dacă \(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) , aflați \(\frac{x}{y}\) ; y ≠ 0.
\(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) ⇒ 13x = 15y ⇒ \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{15}{13}\)
3. Știind că \(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) aflați \(\frac{a}{b}\); b ≠ 0.
\(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) ⇒ 5(a-2b) = 2a + b ⇒ 5a – 10b = 2a + b ⇒ 3a = 11b ⇒ \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{11}{3}\)
4. Suma a două numere este 70 iar raportul lor este \(\frac{2}{5}\). Care sunt aceste numere?
a + b = 70;
\(\frac{a}{b}\) =
\(\frac{2}{5}\)
Scriem o propor
ție derivată prin adunarea numitorului la numărător
:
\(\frac{a+b}{b}\) =
\(\frac{2+5}{5}\)
\(\frac{70}{b}\) =
\(\frac{7}{5}\)
b =
\(\frac{70·5}{7}\) = 10·5 = 50
a = 20
Proba:
a+b = 50+20 = 70
\(\frac{a}{b}\) =
\(\frac{20}{50}\) = \(\frac{2}{5}\)
5. În compoziția de mai jos, artistul dorește să plaseze arborele astfel încât raportul dintre segmentul AB și BC să fie \(\frac{3}{5}\). Stiind că lățimea tabloului AC este de 80cm aflați lungimea segmentului AB notată în figură cu x.
x + BC = 80;
\(\frac{x}{BC}\) =
\(\frac{3}{5}\)
Scriem o propor
ție derivată prin adunarea numărătorului la numitor
:
\(\frac{x}{BC + x}\) =
\(\frac{3}{5+3}\)
\(\frac{x}{80}\) =
\(\frac{3}{8}\)
x =
\(\frac{80·3}{8}\) = 10·3 = 30