Triunghiul

Triunghiul isoscel

Suma unghiurilor unui triunghi isoscel

Exercitiul 1

Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt congruente.

Exemplu :
‎ △ ABC – isoscel ⇒ AB ≡ AC și ∢ ABC ≡ ∢ ACB
‎ △ DEF – isoscel ⇒ DE ≡ DF și ∢ DEF ≡ ∢ DFE

Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci el este isoscel.

Exemplu :
‎ ∢ ABC ≡ ∢ ACB ⇒ △ ABC – isoscel
‎ ∢ DEF ≡ ∢ DFE ⇒ △ DEF – isoscel

Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea corespunzătoare bazei coincid și sunt incluse în mediatoarea bazei.

Dacă într-un triunghi, o bisectoare este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.

Dacă într-un triunghi, o mediatoare este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.

Dacă într-un triunghi, o mediană este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.

Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea corespunzătoare bazei este axa de simetrie a triunghiului.

Dacă, într-un triunghi, mediatoarea unei laturi este axă de simetrie a triunghiului, atunci triunghiul este isoscel.

1. Știind că următorul triunghi este isoscel, aflați măsurile unghiurilor.

Rezolvare

Triunghiul ABC este isoscel, deci măsura unghiului ABC este egală cu măsura unghiului ACB = 40 
‎ ∢ BAC = 180  – (40  + 40  ) = 180  – 80  = 100 

2. Fie AD bisectoarea dusă din A pe BC într-un triunghi isoscel ABC, unde BC este latura necongruentă. Știind că BC are lungimea de 7 cm, să se afle lungimile segmentelor BD și DC.

‎ Rezolvare

ABC – triunghi isoscel => bisectoarea dusă pe latura necongruentă este identică cu mediana.
‎ AD – mediană ⇒ BD = DC = \(\frac{BC}{2}\) = \(\frac{7}{2}\) = 3,5 cm

2. Fie AD mediana dusă din A pe baza BC într-un triunghi isoscel ABC. Știind că măsura unghiului BAC este de 110  , să se afle măsura unghiului BAD.

Rezolvare

ABC – triunghi isoscel => mediana dusă din vârf pe bază se confundă cu bisectoarea ⇒
‎ AD – bisectoare ⇒ măsura unghiului BAD este jumătate din măsura unghiului BAC, adică 55  .

3. Aflați măsura unghiului C din desenul de mai jos :

Rezolvare

Nu știm sigur dacă triunghiul este isoscel. Știm că unghiul BAC = 98 ^o pentru că este opus la v ârf cu unghiul DAE și deci are aceeași măsură cu el.
‎ ∢ ABC + ∢ BAC + ∢ ACB = 180 ^o
‎ 41 ^o + 98 ^o + ∢ ACB = 180 ^o
‎ ∢ C = 180 ^o – 41 ^o – 98 ^o = 41 ^o