Geometrie

Linia mijlocie

Linia mijlocie în triunghi

Calculul distanței până la un loc inaccesibil

Linia mijlocie în paralelogram

Linia mijlocie în triunghi este segmentul determinat de mijloacele a două laturi.

Proprietățile liniei mijlocii în triunghi

Teoremă :

 În orice triunghi, linia mijlocie determinată de mijloacele a două laturi este paralelă cu a treia latură și are lungimea jumătate din ea.

Reciprocă

Dacă prin mijlocul laturii unui triunghi ducem o paralelă la una dintre laturile triunghiului, atunci această paralelă intersectează a treia latură a triunghiului în mijlocul acesteia.

Să reformulăm enunțul de mai sus :

Paralela dusă prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la o altă latură a triunghiului, determină o linie mijlocie în acel triunghi.

De ce spunem "determină" și nu "este"?

Răspuns

Pentru că linia mijlocie este un segment iar paralela din teorema reciprocă este o dreaptă. În acest caz, segmentul pe care noi îl denumim linie mijlocie se află pe dreapta sus amintită și este determinat de intersecția cu laturile triunghiului.

1. Arătați că patrulaterul format de mijloacele laturilor unui patrulater convex este paralelogram.

2. Fie triunghiul DEF cu laturile DE = DF = 6 cm și EF = 8 cm și punctele M și N mijloacele laturilor DE și DF. Să se afle aria și perimetrul triunghiului DMN.

Rezolvare

M, N – mijloacele laturilor DE și DF ⇒ MN este linie mijlocie
‎ DM = DN = 6 : 2 = 3 cm.
‎ MN = EF : 2 = 8 : 2 = 4 cm.
‎ P = 2 · 3 + 4 = 10 cm.
‎
‎ Aflăm înălțimea DH în triunghiul DMN cu ajutorul teoremei lui Pitagora : DH ² = DN ² – (MN / 2) ^2
‎ DH ² = 3 ² – (4 / 2) ^2
‎ DH ² = 9 – 4 = 5
‎ DH = \(\sqrt{5}\)
‎ Aria △ DMN = \(\frac{MN · DH}{2}\) = \(\frac{4 · \sqrt{5}}{2}\) = \(2\sqrt{5}\)

3. Fie triunghiul ABC și punctele D și F reprezentând mijloacele laturilor AB, respectiv AC. Să se afle lungimea segmentului DF știind că BC este cu 5cm mai mare decât aceasta.

Rezolvare

D, F – mijloacele laturilor AB, respectiv AC ⇒ DF – linie mijlocie în triunghiul ABC.
‎ ⇒ DF = \(\frac{BC}{2}\) dar BC = DF + 5
‎ ⇒ DF = 5cm și BC = 10cm
‎