Cercul

Unghi înscris în cerc

Unghi înscris în cerc

Teorema unghiului înscris în cerc

Construcția perpendicularelor

Definiții:

Cercul este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit centrul cercului.

Centrul cercului se notează, de regulă, cu O.

Distanța de la centrul cercului la un punct oarecare al acestuia este constantă, se numește rază și se notează cu R sau r.

Două cercuri cu raze egale se numesc cercuri congruente.

Se numește unghi înscris în cerc un unghi care are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt coarde ale cercului.

In toate cele trei cazuri de mai sus unghiurile ∢ BAC, ∢ BAD, ∢ BAE sunt unghiuri înscrise în cerc.

Centrul cercului se află în afara unghiului BAC.
‎ Centrul cercului se află pe o latură a unghiului BAD.
‎ Centrul cercului se află în interiorul unghiului BAE.

Teoremă

Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului de cerc întins de laturile sale.

Arcul întins este arcul determinat de laturile unghiului și situat în interiorul acestuia.

1. Să se calculeze măsura unghiului BAC înscris în cercul C știind că măsura arcului BC este de 60  .

Rezolvare

Arcul BC are 60 ^o ⇒ măsura unghiului BAC este egală cu jumătate din măsura arcului BC.
‎ ⇒ ∢ BAC = 30 ^o

2. Să se calculeze măsura unghiului CBA din triunghiul ABC știind că măsura unghiului BAC este de 45  . Se observă că segmentul AB trece prin centrul cercului.

Rezolvare

AB – diametru ⇒ ∢ ACB este înscris în semicerc ⇒ măsura unghiului ACB = 90 ^o ⇒ ⊿ ABC – dreptunghic și ∢ CBA = 45 ^o
‎ Știm că unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic sunt complementare adică au suma de 90 ^o .

3. Care este măsura unghiului COB marcat cu în figura de mai jos? Țineți cont de măsurile unghiurilor marcate pe figură.

Rezolvare

‎ Deoarece OC, OA și OB sunt raze triunghiurile OAC și OAB sunt isoscele deci
‎ ∢ OAB = 20 ^o
‎ ∢ OAC = 30 ^o
‎ ∢ BAC = ∢ OAB + ∢ OAC = 50 ^o
‎ ∢ BAC – unghi înscris
^‎ arcul BC = 2 · 50 ^o = 100 ^o ⇒ ∢ BOC = 100 ^o
‎ pentru că ∢ B0C este unghi la centru și are măsura egală cu arcul determinat de laturile sale.