Cercul
Aria cercului
Aria cercului este calculată cu formula: A cerc = π·R 2
Definiție
Figura geometrică delimitată de două raze OA și OB ale aceluiași cerc C(O,R ), împreună cu arcul de cerc cu capetele A și B se numește sector de cerc.
Aria sectorului de cerc este direct proporțională cu măsura arcului de cerc corespunzător.
1. Să se calculeze aria cercului cu diametrul egal cu \(6\sqrt{3}\) cm.
D = 2R
⇒
R = d : 2
⇒
R = \(\frac{6\sqrt{3}}{2}\) = \(3\sqrt{3}\) cm
Aria cercului =
𝝅
R
2
=
𝝅
\((3\sqrt{3})^{2}\) =
𝝅
· 9 · 3 = 27
𝝅 cm
2
2. Să se afle aria cercurilor înscris și circumscris pătratului cu latura egală cu 6 cm.
Diagonala pătratului este diametrul cercului circumscris.
Din Teorema lui Pitagora: diagonala
2
= latura
2
+ lagura
2
diagonala = latura ·
\(\sqrt{2}\)
=
\(6\sqrt{2}\)
Raza = diagonla : 2 =
\(3\sqrt{2}\) cm
Aria cercului circumscris
=
𝝅
R
2
=
𝝅
\((3\sqrt{2})^{2}\) =
𝝅
· 9 · 2 = 18
𝝅 cm
2
Latura pătratului are dimensiunea diametrului cercului înscris.
r = 6
: 2 = 3 cm
Aria cercului înscris
=
𝝅
r
2
=
𝝅
· 3
2
= 9
𝝅
cm
2
3. Care este aria cercului înscris pătratului cu diagonala egală cu 10cm?
Latura pătratului are dimensiunea diametrului cercului.
Din Teorema lui Pitagora: diagonala
2
= latura
2
+ latura
2
diagonala = latura · \(\sqrt{2}\)
latura = \(\frac{diagonala}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{10}{\sqrt{2}}\)
raza R = \(\frac{latura}{2}\) =\(\frac{10}{\sqrt{2}}\) · \(\frac{1}{2}\) =
\(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
Aria cercului înscris =
𝝅R
2
=
𝝅
· \((\frac{5}{\sqrt{2}})^{2}\) = \(\frac{25}{2}\)
𝝅
cm
2
4.
Arătați că aria verde din desenul de mai jos este egală cu 5
𝝅
(2r + 5). Ce valoare are aria verde dacă r = 2cm ?
Aria verde = Aria cercului mare – Aria cercului mic =
𝝅
(r + 5)
2
–
𝝅
r
2
=
𝝅
(r + 5)(r + 5) –
𝝅
r
2
=
𝝅 (
r
2
+ 5r + 5r + 25) –
𝝅
r
2
=
𝝅(
r
2
+ 10r + 25) –
𝝅
r
2
=
𝝅
r
2
+ 10
𝝅
r + 25
𝝅
–
𝝅
r
2
= 10
𝝅
r + 25
𝝅
=
5
𝝅
(2r + 5)
Da
că r = 2 atunci Aria =
5
𝝅
(2·2 + 5) =
5
𝝅
·9 = 45
𝝅
