Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Cu ajutorul teoremei lui Pitagora putem afla lungimea unei laturi a unui triunghi dreptunghic atunci când cunoaștem lungimile celorlalte două.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind opus primei laturi.

1. Un triunghi are lungimile laturilor AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. Să se demonstreze că acesta este un triunghi dreptunghic.

Rezolvare

BC ² = AB ² + AC ²
‎ 10 ² = 6 ² + 8 ²
‎ 100 = 36 + 64
‎ 100 = 100 ⇒ conform reciprocei Teoremei lui Pitagora triunghiul ABC este dreptunghic

2. Triunghiul ABC de mai jos are lungimile laturilor marcate pe figură. Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic.

Rezolvare

Verificăm Teorema lui Pitagora în △ ABC. BC ² = AC ² + AB ²
‎ 11 ² = 8,8 ² + 6,6 ²
‎ 121 = 77,44 + 43.56
‎ 121 = 121
‎ Conform reciprocei Teoremei lui Pitagora △ ABC este dreptunghic în A.

3. Fie triunghiul ABC dreptunghic cu ipotenuza = 5 cm și una dintre catete egală cu 3 cm. Să se afle lungimea celei de-a doua catete și aria triunghiului ABC.

Rezolvare

ABC – triunghi dreptunghic ⇒ ip ² ⇒ c ₁ ² +c ₂ ² ⇒ 5 ² = 3 ² + c ₂ ² => 25 = 9 + c ₂ ² =>
‎ c ₂ = \(\sqrt{25 – 9}\) = \(\sqrt{16}\) = cm
‎ Pentru a afla aria ne dăm seama că o catetă poate fi considerată înălțime iar cealaltă bază, în triunghiul dreptunghic.
‎ AABC = \(\frac{baza · înălțimea}{2}\) = \(\frac{c1 · c2}{2}\) = \(\frac{3 · 4}{2}\) = 6 cm2

4. Demonstrați că într-un patrulater ortodiagonal suma pătratelor laturilor opuse este egală. Denumim patrulater ortodiagonal patrulaterul convex care are diagonalele perpendiculare.

Rezolvare

‎ Trebuie să demonstrăm că AB ² + CD ² = AD ² + BC ²
‎ Aplicăm teorema lui Pitagora în cele patru triunghiuri dreptunghice și exprimăm laturile patrulaterului în funcție de segmentele AO, CO, BO, DO.
‎ AB ² = BO ² + AO ² ^‎ CD ² = CO ² + DO ²
‎ AD ² = AO ² + DO ²
‎ BC ² = BO ² + CO ² ^‎ Scriem egalitatea echivalentă cu AB ² + CD ² = AD ² + BC ² înlocuind pătratele laturilor cu valorile din cele patru expresii de mai sus.
‎ BO ² + AO ² + CO ² + DO ² = AO ² + DO ² + BO ² + CO ² ^‎ Relația de mai sus este adevărată pentru că adunarea este comutativă.
‎

5. În interiorul unui pătrat se construiesc două triunghiuri echilaterale ca în figura de mai jos.

Dacă aria triunghiului mare albastru este de 12cm ² cât este aria triunghiului mic roșu?

Rezolvare

‎ Aria △ FCD = 12 cm2 = \(\frac{latura^2\sqrt{3}}{4}\). Putem afla latura triunghiului care este și latura pătratului. Nu o aflăm deocamdată dar o considerăm știută. Notăm latura pătratului cu "latura".
‎ ∢ ADE = 30 ^o pentru că este complementar cu ∢ CDE care măsoară 60 ^o .
‎ În triunghiul dreptunghic AED cunoaștem catega AD = latura pătratului și măsura unghiului ADE = 30 ^o . Deci cateta AE măsoară jumătate din ipotenuza ED.
‎ Din această relație și teorema lui Pitagora putem afla cateta AE care este latura triunghiului echilateral AEG a cauri arie dorim să o aflăm.
‎ AD ² + AE ² = ED ²
‎ ED = 2AE
‎ ED ² = 4AE ² ^‎ Înlocuim în relația dată de teorema lui Pitagora AD ² = latura ² și ED ² = 4AE ² .
‎ latura ² + AE ² = 4AE ² ^‎ latura ² = 3AE ² ^‎ AE ² = latura ² : 3 ^‎ Aria △ AGE = \(\frac{AE^2\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{latura^2\sqrt{3}}{3 · 4}\) = \(\frac{Aria FCD}{3}\) = 4 cm ² .
‎ Observăm asemănarea dintre formula ariei △ FCD și formula ariei △ AGE și că aria triunghiului mic este de trei ori mai mică decât aria triunghiului mare. Această observație ne scutește de a calcula latura pătratului.

Glume cu tâlc

O barcă cu vâsle plutește într-un port și un măgar încăpățânat o trage de o coardă lungă și aduce barca spre țărm. Când măgarul se deplasează cu un metru cu cât se deplasează barca?

A. cu exact 1 metru

B. cu mai mult de 1 metru

C. cu mai puțin de 1 metru

Imaginea de mai jos prezintă situația inițială, înainte ca măgarul să tragă barca.

Preluare după archimedes-lab.com

Rezolvare

‎ Metoda 1 de rezolvare se bazează pe Teorema lui Pitagora.
‎ BC ² = AB ² + AC ² ; BC = a = \(\sqrt{121 + 3600}\) = \(\sqrt{3721}\) = 61m
‎ 11, 60, 61 sunt numere Pitagoreice!
‎ Dacă BC = 61 atunci BD = 61 − 1 = 60 m.
‎ Aflăm cateta AD din triunghiul dreptunghic ABD.
‎ AD ² = BD ² − AB ² ; AD = \(\sqrt{3600 − 121}\) = \(\sqrt{3479}\) = 7\(\sqrt{71}\) ≃ 58,98 m
‎ CD = x ≃ 60 − 58,98 = 1,02 > 1
‎ Răspuns : B) barca se deplaseaza cu mai mult de 1 m.
‎ Metoda 2 de rezolvare se bazează pe inegalitatea triunghiului.
‎ În orice triunghi, suma a două laturi este mai mare decât a treia.
‎ În △ BCD, BC + CD > BD adică a + x > a − 1
‎ Scădem lungimea "a" atât din partea stângă cât și din partea dreaptă.
‎ x > a − 1 − a
‎ x > 1
‎ Răspuns : B) barca se deplaseaza cu mai mult de 1 m.
‎