Intervale și inecuații în R Mulțimi de numere
Vreau abonament pentru a avea acces la toate filmele. Selecție de lecții videoIntervale și inecuații în R
Mulțimi de numere
O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte pe care le numim elementele mulțimii.
Dacă A este o mulțime și x este un element al său, spunem că x aparține mulțimii A: x ∈ A
Dacă x nu este element al mulțimii A, scriem x ∉ A .
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează cu simbolul ∅ . În cazul de mai jos, mulțimea B este vidă. B = ∅
O mulțime care are un număr finit de elemente se numește mulțime finită, iar numărul elementelor sale se numește cardinalul mulțimii .
În exemplul de mai jos C = {x,z,w}. Mul țimea C are trei elemente. Cardinalul mulțimii C este 3. card C = 3
O mulțime poate fi definită în trei moduri :
1. Enumer ând elementele sale : A = {1,2,3,4}
2. Prin diagrame Venn-Euler
3. Enun țând o proprietate comună a elementelor mulțimii.
A = {x | x este un num ăr natural mai mare decât 0 și mai mic decât 5 }
Relații între mulțimi
Două mulțimi care au aceleași elemente se numesc mulțimi egale. Dacă mulțimile A și B sunt egale, scriem A = B. Dacă mulțimile A și B nu sunt egale, scriem A ≠ B.
Mulțimea A este inclusă în mulțimea B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Notăm cu
A ⊂ B
Exemplu: A = {1,2,3,4,5,6}; B = {4,5,6}
Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, se mai spune că B include pe A și scriem
B ⊃ A
Dacă A ⊂ B, atunci mulțimea A se numește submulțime a mulțimii B, sau parte a mulțimii B.
Dacă mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B, scriem
A ⊄ B .
Mulțimea vidă, notată ∅ , este submulțime a oricărei mulțimi.
∅ ⊂ A oricare ar fi mulțimea A.
1.
Determinați cardinalul mulțimii formată din cifre care pot fi ultima cifră a unui pătrat perfect.
a) Numărul 4 598 382 493 este pătrat perfect? De ce?
b) Numărul 254 016 este pătrat perfect? De ce?
c) Numărul 127 008 este pătrat perfect? De ce?
Observăm că ultima cifră a pătratului oricărui număr natural este dată de ultima cifră a acelui număr. Luăm toate numerele formate dintr-o singură cifră
:
0
2
= 0
1
2
= 1
2
2
= 4
3
2
= 9
4
2
= 16
5
2
= 25
6
2
= 36
7
2
= 49
8
2
= 64
9
2
= 81
Mulțimea căutată este A = {0, 1, 4, 5, 6, 9}
a) Observ
ăm că 3, de exemplu, nu face parte din această mulțime. Tragem concluzia că nu există pătrat perfect care are ultima cifră 3. Putem spune cu certitudine că 4 598 382 493 nu este pătrat perfect pentru că se termină cu cifra 3.
b) Numărul 254 016 se termină cu cifra 8. Putem trage concluzia că este posibil ca 127 008 să fie pătrat perfect dar nu știm asta cu certitudine. Pentru a demonstra că este pătrat perfect trebuie să găsim un număr x astfel încât x
2
= 254 016.
Descompunem numărul 254 016 în factori primi și aflăm că 254 016 = 2
6
·
3
4
· 7
2
254 016 =
(2
3
· 3
2
·
7)
2
deci x = 2
3
· 3
2
·
7. Numărul 254 016 este pătrat perfect.
c) 127 008 = 2
5
· 3
4
· 7
2
. Chiar dacă se termină cu cifra 8, 127 008 nu este pătrat perfect pentru că nu există un număr natural care ridicat la pătrat să fie 127 008.
2. Determinați elementele mulțimii A = {x ∈ ℕ | x 2 < 48}
Observăm că 7
2
= 49 care este mai mare decât 48.
Pentru că x este număr natural și
x < 7
⇒
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. Scrieți elementele mulțimii P = {x ∈ ℕ | x < 50 iar x este număr prim.}
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
