Calcul algebric în R
Operații cu numere reale reprezentate prin litere
1.
Calculați:
a) 2(2x+2y) – 3x + 5y =
b) x(x + y) – y(x – y) =
c) (x + 2y)(x – 2y) + x(y – x) + y(x + y) =
Rezolvare
a) 2(2x+2y) – 3x + 5y = 4x + 4y – 3x + 5y =
4x – 3x + 4y + 5y = x + 9y
.
b) x(x + y) – y(x – y)= x
2
+ xy – yx + y
2
= x
2
+ y
2
j
.
c) (x + 2y)(x – 2y) + x(y – x)+y(x + y)=
x
2
– 2xy +2xy – 4y
2
+ xy – x
2
+xy + y
2
= – 3y
2
+ 2xy
2.
Aflați expresia lui x în funcție de y apoi expresia lui y în funcție de x știind că – 4x + 6y = 2.
x = ...
y = ...
Rezolvare
– 4x + 6y = 2
6y = 2 + 4x
y =
\(\frac{2 + 4x}{6}\) = \(\frac{1 + 2x}{3}\)
4x = 6y
– 2
x = \(\frac{6y – 2}{4}\) = \(\frac{3y – 1}{2}\)
3.
Scrieți sub forma unei singure fracții
:
\(\frac{5x – 2}{3}\) – \(\frac{6}{x}\) =
x ≠ 0
Rezolvare
\(\frac{5x – 2}{3}\) – \(\frac{6}{x}\) = \(\frac{x(5x – 2)}{3x}\) – \(\frac{3 · 6}{3x}\) = \(\frac{ x(5x – 2) – 18}{3x}\) = \(\frac{5x2 – 2x – 18}{3x}\)
4.
Fie k un număr întreg.
a) 2k este un număr par. Cum exprimați următorul număr par în funcție de k?
b) Arătați că diferența dintre inversele a două numere pare consecutive nenule este dublul inversului produsului lor.
Rezolvare
a) 2k + 2
b) Scriem diferența dintre
\(\frac{1}{2k}\) și \(\frac{1}{2k + 2}\)
și aducem la același numitor.
\(\frac{1}{2k}\) – \(\frac{1}{2k + 2}\) = \(\frac{2k + 2}{2k(2k+2)}\) – \(\frac{2k}{2k(2k + 2)}\) =
\(\frac{2k + 2 – 2k}{2k(2k + 2)}\) = \(\frac{2}{2k(2k + 2)}\) care este dublul inversului produsului dintre 2k și (2k+2) ceea ce era de demonstrat.
5.
Alege un număr. Adună 1 la el. Calculează apoi pătratul numărului rezultat. Scade 16 din acest pătrat.
a) Ce număr obținem dacă plecăm cu 4?
b) Ce număr obținem dacă plecăm cu
–
1?
c) Exprimați rezultatul final dacă numărul ales este x
∈
ℝ
.
d) Verificați că expresia de mai sus este identică cu P = x
2
+ 2x – 15
e) Ce număr sau numere reale trebuie să alegem astfel încât rezultatul final să fie 0?
Rezolvare
a) 4 + 1 = 5; 5
2
= 25; 25
–
16 = 9
b)
–1 + 1 = 0; 0
2
= 0; 0 – 16 = –16
c) (x + 1)
2
– 16
d) (x + 1)
2
– 16 = x
2
+ 2x + 1 – 16 = x
2
+ 2x – 15
e) (x + 1)
2
– 16 = 0; (x + 1)
2
= 16;
x + 1 = 4 sau
x + 1 = – 4
Deci sunt posibile două soluții: x
1
= 3
și x
2
=
–5
6.
Dezvoltă expresia următoare și adu-o la o formă mai simplă prin reducerea termenilor asemenea A = 2x(x
– 1) – 4(x – 1).
Rezolvare
A = 2x(x
– 1) – 4(x – 1) = 2x
2
– 2x – 4x + 4 = 2x
2
– 6x + 4
7.
Este
–5 este o soluție a ecuației (2x + 1)(2 – x) = 63 ?
Rezolvare
(
–10 + 1)[2 – (–5)] = –9
·
7 = –63. –5
nu
este soluție.
Glume cu tâlc
1.
Explicați!
a,b
∈ ℝ
a = b
a + a = a + b
2a = a + b
2a – 2b = a + b – 2b
2(a – b) = a + b – 2b
2(a – b) = a – b
2 = 1
Rezolvare
Am plecat de la premisa că a = b. Asta înseamnă că a – b = 0. Atunci nu putem simplifica cu (a – b) pentru că asta ar însemna o împărțire cu zero.
