Calcul algebric în R
Formule de calcul prescurtat
1.
Calculați:
a) (x + 1)
2
=
b) (x + 2)(x –
2 ) =
c) (x
2
+ 3)
2
.=
Rezolvare
a) (x + 1)
2
= x
2
+ 2x+ 1
b) (x + 2)(x – 2) = x
2
– 2
2
= x
2
– 4
c) (x
2
+ 3)
2
= x
4
+ 6x
2
+ 9
2.
Calculați (x + 1)
2
– (x + 1)(x – 1) + (x + 3)
2
.
Rezolvare
(x+1)
2
– (x + 1)(x – 1) + (x + 3)
2
=
x
2
+ 2x +1 – (x
2
– 1) + x
2
+ 6x + 9 =
x
2
+ 2x + 1 – x
2
+ 1 + x
2
+ 6x + 9 =
x
2
+ 8x + 11
3.
Scrieți sub formă de pătrat al unei sume sau diferențe:
a) 4x
2
+ 8x + 1
b) 9x
2
– 12x + 4
Rezolvare
a) 4x
2
+ 8x + 4 = (2x + 2)
2
b) 9x
2
– 12x + 4 = (3x – 2)
2
3.
Arătați că numărul (
\(\sqrt{5}\)
+ 3)(3 –
\(\sqrt{5}\)
) este un număr întreg.
Rezolvare
Efectuăm înmulțirea sau aplicăm formula de calcul prescurtat.
(a + b)(a – b) = a
2
– b
2
(3 +
\(\sqrt{5}\)
)(3 –
\(\sqrt{5}\)
) = 3
2
– 5 = 4 care este număr întreg.
4.
Teodor trebuie să calculeze rezultatul final al unei probleme de fizică: 4,5
2
dar nu are calculatorul la el. Colega lui de bancă Sara îi spune că e foarte simplu: 4,5
2
= 4 · 5 + 0,25. Este sugestia Sarei corectă? Funcționează și pentru alte cazuri asemănătoare? De exemplu 3,5
2
= 3 · 4 + 0,25. De ce?
Rezolvare
4,5
2
= 20,25
4 · 5 + 0,25 = 20,25. Într-adevăr, sugestia Sarei este corectă. Dar de ce funcționează?
4,5
2
= (4 + 0,5)
2
= 4
2
+ 2 · 4 · 0,5 + 0,5
2
= 4
2
+ 4 + 0,25 = 4(4+1) + 0,25 = 4 · 5 + 0,25 = 20,25
(n + 0,5)
2
= n
2
+ 2·n·0,5 + 0,5
2
= n
2
+ n + 0,25 = n(n+1) + 0,25
5.
Calculați fără calculator:
A = \(\sqrt{70 · 71 · 72 · 73 + 1}\)
B = 8 · 9 · 10 · 11 · 12
Rezolvare
A = \(\sqrt{70 · (70 + 1) · (70 + 2) · (70 + 3) + 1}\)
Notăm x = 70:
x · (x + 1) · (x + 2) · (x + 3) + 1 = x · (x + 3) · (x + 2) · (x + 1) + 1 = (x2 + 3x) · (x2 + 3x + 2)
Notăm y = x2 + 3x
(x2 + 3x) · (x2 + 3x + 2) + 1 = y(y + 2) + 1 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2
A = y + 1 = x2 + 3x + 1 = 702 + 3 · 70 + 1 = 4 900 + 210 + 1 = 5 111
B = 8 · 9 · 10 · 11 · 12 = (10 – 2) · (10 – 1) · 10 · (10 + 1) · (10 + 2)
notăm x = 10
B = (x – 2) · (x – 1) · x · (x + 1) · (x + 2) = x · (x – 2) · (x + 2) · (x – 1) · (x + 1)
Știm că (a + b)(a – b) = a
2
– b
2
deci (x – 2) · (x + 2) = x
2
– 2
2
și (x – 1) · (x + 1) = x
2
– 1
2
B = x · (x
2
– 4)( x
2
– 1) = x · (x
4
– x
2
– 4x
2
+ 4) = x · (x
4
– 5x
2
+ 4)
dar x = 10 deci
B = 10 · (10000 – 500 + 4) = 10 · 9504 = 95 040
