Calcul algebric în R
Descompunerea in factori
1.
Descompuneți în factori
a)
x
2
+ y
2
– 2xy – z
2
=
b)
9x
2
+ 30x + 25 =
c)
16x
2
– 49 =
Rezolvare
a) x
2
+ y
2
– 2xy – z
2
= x
2
– 2xy + y
2
– z
2
=
(x + y)
2
– z
2
= (x + y – z)(x + y + z)
b) Folosim formula de calcul prescurtat (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
9x
2
+ 30x + 25 = (3x + 5)
2
c) Folosim formula de calcul prescurtat (a + b)(a – b) = a
2
– b
2
16x
2
– 49 = (4x + 7)(4x – 7)
2.
Scoateți factorul comun:
a) 5a – 5b
b) 3a + 6a
2
c) 15x + 25y + 50z
Rezolvare
a) 5a – 5b = 5(a – b)
b) 3a + 6a
2
= 3a(1+2a)
c) 15x + 25y + 50z = 5(3x + 5y + 10z)
3.
Descompuneți în factori:
a) 2x
2
+
\(8\sqrt{2}x\)
+ 16 =
b) (x+3)(x-3) =
c) x
2
+ 5x + 6 =
Rezolvare
a) 2x
2
+
\(8\sqrt{2}x\)
+ 16 =
2x
2
+
\(2·4\sqrt{2}x\)
+ 4
2
= (
x + 4)
2
b) (x + 3)(x
–
3) = x
2
– 9
c) x
2
+ 5x + 6 = x
2
+ 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+3)
4.
Fie x un număr real
.
M = (x + 3)
2
– (2x + 1)
2
N = (
–5x – 1
)
2
– (2x + 1)
2
a) Dezvoltați M și reduceți termenii asemenea.
b) Descompuneți în factori M.
c) Dezvoltați N și reduceți termenii asemenea.
d) Descompuneți în factori N.
Rezolvare
a) (x + 3)
2
– (2x + 1)
2
= x
2
+ 6x + 9 – (4x
2
+ 4x + 1) =
x
2
+ 6x + 9 – 4x
2
– 4x – 1 = – 3x
2
+ 2x + 8
.
b) (x + 3)
2
– (2x + 1)
2
= [(x + 3) + (2x + 1)] · [(x + 3) – (2x + 1)] =
(x + 3 + 2x + 1) · (x + 3 – 2x – 1) = (3x + 4) · (– x + 2)
.
c) (–5x – 1)
2
– (2x + 1)
2
= 25x
2
+ 10x + 1 – (4x
2
+ 4x + 1) =
25x
2
+ 10x + 1 – 4x
2
– 4x – 1 = 21x
2
+ 6x
.
d) De la punctul c) am aflat că (–5x – 1)
2
– (2x + 1)
2
= 21x
2
+ 6x
Descompunem în factori prin tehnica factorului comun.
(–5x – 1)
2
– (2x + 1)
2
= 21x
2
+ 6x = 3x(7x + 2)
5.
Fie expresia E = (x
–
2)(2x + 3)
– 3(x – 2)
a) Verificați că E = 2F unde F = x(x – 2)
b) Determinați toate numerele reale x pentru care E = 0.
Rezolvare
Descompunem expresia E.
(x
–
2)(2x + 3)
– 3(x – 2) = (x – 2)[(2x + 3) – 3] = 2x(x – 2)
Dacă F = x(x – 2) atunci E = 2F.
2x(x – 2) = 0
⇒
2x = 0 sau x – 2 = 0
Cele două soluții sunt x
1
= 0 și x
2
= 2
