Calcul algebric în R
Ecuația de gradul 2
1.
Calculați rădăcinile reale ale ecuațiilor:
a)
(3x – 7)(2x – 5) = 0.
b)
(4x + 5)(x – 3) = 0
Rezolvare
a) 3x – 7 = 0
⇒
x = \(\frac{7}{3}\)
2x – 5 = 0
⇒
x = \(\frac{5}{2}\)
b) 4x + 5 = 0
⇒
x = \(–\frac{5}{4}\)
x – 3 = 0
⇒
x = 3
2.
Să se rezolve ecuația 7x
2
+ 8x + 1 = 0.
Rezolvare
7x
2
+ 8x + 1 = 8x
2
– x
2
+ 8x + 1 = 8x
2
+ 8x – x
2
+ 1 = 8x(x + 1) + (1 – x
2
) =
= 8x(x +1) + (x + 1)(1 – x) = (x + 1)(8x + 1 – x) = (x + 1)(7x + 1) = 0
Dacă x + 1 = 0 atunci x
1
= –1
Dacă 7x + 1 = 0 atunci x
1
= – \(\frac{–1}{7}\)
Proba:
7(–1)
2
+ 8(–1) + 1 = 7 – 8 + 1 = 0
7 · \({(\frac{–1}{7})}^2\) + 8 · \(\frac{–1}{7}\) + 1 = 7 · \(\frac{1}{7^2}\) – \(\frac{8}{7}\) + 1 =
\(\frac{1}{7}\) – \(\frac{8}{7}\) + 1 = 0
3.
Rezolvați ecuația: x
2
– 5x + 6 = 0
Rezolvare
x
2
– 5x + 6 = x
2
– 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2) = 0
Soluțiile sunt x
1
= 3
; x
2
= 2
4.
Produsul a două numere întregi, impare și consecutive este egal cu 143. Să se afle toate soluțiile problemei rezolvând ecuația de gradul 2.
Rezolvare
Observăm că 143 = 11 · 13 deci numerele sunt 11 și 13.
Putem rezolva problema și cu ajutorul ecuațiilor.
x(x + 2) = 143
x
2
+ 2x = 143
Ecuația este
:
x
2
+ 2x
–
143 = 0
x
2
+ 2x
–
143
= x
2
+
2x
–
11 · 13
= x
2
+
13x
– 11x
–
11 · 13 = x
2
– 11x
+ 13x
–
11 · 13 =
x (x
– 11) + 13(x – 11) = (x + 13)(x – 11)
Soluțiile ecuației sunt x
1
= –13 și x
2
= 11
Soluțiile problemei sunt
:
Soluția 1
: A = 13; B =
11
Soluția 2:
A =
–
13; B =
–11
5.
Aria unui triunghi dreptunghic este de 12 de cm
2
, iar diferența lungimii catetelor este de 2 cm. Să se afle perimetrul dreptunghiului.
Rezolvare
\(\frac{x(x+2)}{2}\) = 12
x(x + 2) = 24
x
2
+ 2x
– 24 = 0
x
2
+ 2x
– 4
· 6
= 0
x
2
+ 6x
– 4x – 4
· 6
= 0
x
2
– 4x
+ 6x
– 4
· 6
= 0
x(x – 4) + 6(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 6) = 0
X
1
= 4; x
2
= – 6
Ținem cont doar de soluția pozitivă pentru că lungimile laturilor sunt numere pozitive.
Cateta
1
= 4
Cateta
2
= 4 + 2 = 6
Ipotenuza
2
= Cateta
1
2
+ Cateta
2
2
.
Ipotenuza
2
= 4
2
+ 6
2
= 16 + 36
.
Ipotenuza =
\(\sqrt{52}\) = \(2\sqrt{13}\)
.
Perimetrul = 4 + 6 +
\(2\sqrt{13}\)
= 10 +
\(2\sqrt{13}\)
cm
5.
Ionel dorește să rezolve ecuația (4x
–
3 )
2
–
9 = 0. El încearcă cu x=
\(\frac{3}{4}\)
și cu x = 0
.
a) Sunt aceste numere soluții ale ecuației
?
b) Arătați că (4x
–
3 )
2
–
9 = 4x(4x
–
6)
c) Determinați soluțiile ecuației.
Rezolvare
a)
(4\(\frac{3}{4}\)
–
3 )
2
–
9 = 0
; (3
–
3)
2
–
9 = 0 (fals);
(4·0 – 3 )
2
–
9 = 0 (adevărat)
; Doar 0 este soluție pentru ecuația dată
.
b) Expresia dată este sub forma diferenței a două pătrate. Folosim formula de calcul prescurtat corespunzătoare
a
2
–
b
2
= (a + b)(a
–
b)
(4x
–
3)
2
–
9 = (4x
–
3 + 3)( 4x
–
3
–
3) = 4x(4x
– 6)
c)
4x(4x
– 6) = 0
⇒
x
1
= 0;
4x – 6 = 0
⇒
4x = 6
⇒
x
2
= \(\frac{6}{4}\) = \(\frac{3}{2}\)
