Funcții Funcții de forma ax+b
Selecție de lecții videoFuncții
Funcții de forma f (x) = ax+b; f : A → B
Funcții definite pe mulțimi finite
Funcții de forma f(x)=ax+b
Cum au apărut funcțiile?
1. Fie funcția liniară f : ℝ → ℝ ; f (x) = – 2x + 5.
a) Calculați imaginea punctelor 0 și 3 prin funcția f .
Înlocuim valoarea 0 în locul variabilei x. f(0) = –2 · 0 + 5 = 5
b) Știind că funțiile liniare sunt reprezentate sub formă de dreaptă într-un sistem de axe de coordonate ortogonale Oxy, dați exemple de două puncte distincte A și B, care aparțin dreptei funcției f.
Aleg primul punct pe cel calculat la punctul a) x = 0
; y = 5; A(0,5).
Aleg al doilea punct x = 1, y = ?. Calculez y înlocuind 1 în locul variabilei x. f(1) =
–
2· 1 + 5
; f(1) = 3; B(1,3)
c) Trasa ți graficul funției f .
Știm că două puncte determină o dreaptă. Desenez cele două puncte A și B, determinate la punctele anterioare, într-un sistem de axe ortogonal.
Apoi trasez drapta care include cele două puncte. Această dreaptă reprezintă graficul funcției
f
.
2.
Fie functia liniară
f
:
ℝ
→
ℝ
;
definită prin relația
f
(x) = 4,5x – 3.
a. Desenați dreapta funcției f.
Trebuie să determin două puncte, A și B care aparțin dreptei funcției f. Aleg primul punct A: x = 0
; y = ?. Determin valoarea funcției y atunci când x = 0. f(0) = 4,5
· 0
–
3
. A(0,
–3
)
Pentru a determina cel de-al doilea punct trebuie să aleg un alt număr x. Aleg x = 2. Determin valoarea funcției y atunci când x = 2. f(2) = 4,5
· 2
–
3. f(2) = 9
–
3
; f(2) = 6. B(2,6)
Desenez cele dou
ă puncte și dreapta care le include.
b. P este punctul care apar ține pe dreapta funcției f, cu abscisa 10. Care este valoarea ordonatei?
Dacă abscisa este 10 atunci x = 10. Calcul ăm valoarea funcției, y = ? pentru x = 10. f(10) = 4,5 · 10 – 3 ; f(10) = 45 – 3; f(10) = 42. Răspuns : 42.
c. R este punctul care apar ține pe dreapta funcției f, cu ordonata 3. Care este valoarea abscisei?
Dacă ordonata este 10,5 atunci y = 10,5.
Calcul
ăm valoarea lui x atunci când y = 10,5.
10,5 = 4,5 · x
–
3
; 10,5 + 3 =
4,5 · x; 13,5 = 4,5x; x = \(\frac{13,5}{4,5}\)
; Amplificăm cu 10 și simplific
ăm cu 5
\(\frac{13,5}{4,5}\)
=
\(\frac{135}{45}\) = \(\frac{27}{9}\) = 3
Răspuns
: 3.
Verific
ăm rezultatul
: f(3) =
4,5 · 3
–
3; f(3) = 13,5
–
3 = 10,5.
Intersecția cu axele
Trasarea graficului funcțiilor liniare
3. Reprezentați grafic funcția liniară g : ℝ → ℝ ; g(x) = – x + 4.
Trebuie să determin două puncte, A și B care aparțin dreptei funcției g. Aleg primul punct, A: x = 0
; y = ?. Determin valoarea funcției y atunci când x = 0. g(0) = 4. A(0,4)
Aleg al doilea punct, B, acolo unde funcția g intersectează axa oX. B: x = ?; y = 0. Determin valoarea lui x atunci c
ând y = 0 sau g(x) = 0 sau 0 =
–
x + 4.
x = 4. Astfel am găsit punctul B(4,0). Având cele două puncte, putem desena dreapta funcției g.
4. Reprezentați grafic funcția liniară h : ℝ → ℝ ; h(x) = 2x – 6.
Ne propunem să determinăm două puncte, A și B, acolo unde graficul funcției intersectează axele de coordonate pentru că astfel determinarea punctelor poate fi mai facilă.
A(0, ?) și B(?, 0).
Dacă x = 0 atunci f(0) = 2 · 0
–
6
; f(0) = -6; A(0,
–
6)
Dacă y = 0 atunci 0 = 2
x
–
6
; 2
x
= 6;
x
= 3; B(3, 0)
5.
Fie funcția f(x) = –3x + 1,5. Dintre cele două grafice de mai jos, care este reprezentarea funcției f?
Pentru că x are un coeficient negativ, cu cât se mărește valoarea absolută a lui x cu atât valoarea funcției (y) scade. Tragem concluzia că graficul A nu corespunde funcției. Verificăm graficul B prin testarea unor puncte aflate pe acest grafic. Testăm f(0,5) = – 3·0,5 + 1,5 = – 1,5 + 1,5 = 0 și f(0) = 1,5. Observăm că ambele puncte aparțin graficului. Graficul funcției f este B.
Distanta de la un punct la o dreaptă
6. În România, pentru măsurarea temperaturii folosim gradele Celsius ( o C). Scara Celsius a fost propusă de astronomul suedez Anders Celsius în anul 1742. În scara Celsius, 0 o C este temperatura de topire a gheții iar 100 o C este temperatura la care apa începe să fiarbă la nivelul mării. De atunci scara Celsius a fost redefinită de fizicieni în termeni mai preciși dar și-a păstrat numele.
În Statele Unite, pentru măsurarea temperaturii se folosește scara Fahrenheit ( o F) care a fost propusă de fizicianul Daniel Gabriel Fahrenheit în 1724. 0 o F a fost stabilit ca fiind temperatura unui amestec de gheață, apă și sare în anumite proporții iar 96 o F temperatura normală a corpului uman. Și scara Fahrenheit a fost redefinită mai precis ulterior.
a) Știind că 0 o C = 32 o F și 37 o C = 98,6 o F stabiliți o formulă care să convertească din grade Celsius în grade Fahrenheit f(c) = h unde c este temperatura măsurată în o C iar h aceeași temperatură măsurată în o F.
b) Considerând că formula găsită la punctul a) este o funcție liniară, trasați graficul acestei funcții într-un sistem de coordonate ortogonal ( o C, o F). Evidențiați punctele unde graficul funcției intersectează axele de coordonate și explicați semnificația acestor intersecții.
c) Folosiți formula găsită la punctul a) pentru a determina temperatura Fahrenheit corespunzătoare pentru –10 o C, 50 o C și 150 o C.
a) Observăm că există o legătură de proporționalitate între gradele Celsius și gradele Fahrenheit. Cu cât sunt mai multe grade Celsius cu atât vom avea mai multe grade Fahrenheit.
f(
c
) = a
·
c
+ b unde c este temperatura în grade Celsius iar f(c) este temperatura în grade Fahrenheit.
f(0) = 32
f(37) = 98,6
Înlocuind valorile în formula f(c) = ac + b determinăm coeficienții a și b.
b = 32
37a + 32 = 98,6
; 37a = 98,6
– 32; 37a = 66,6; a = (\frac{66,6}{37}\) = 1,8
Formula de transformare a gradelor Celsius în grade Fahrenheit este o funcție liniară cu expresia f(c) = 1,8 c + 32.
b) f(0) = 32
; 0 = 1,8c + 32; 1,8 c =
– 32; c = \(\frac{–32}{1,8}\) = –17,(7)
Interpretare
:
0
o
C = 32
o
F și 0
o
F = –17,(7) 0
o
C
c) Știm că f(c) = 1,8 + 32 atunci
-10
o
C
= 1,8 · 10 + 32 = 18 + 32 = 50
o
F
50
o
C
= 1,8 · 50 + 32 = 90 + 32 = 122
o
F
150
o
C
= 1,8 · 10 + 32 = 270 + 32 = 302
o
F
7.
Fie
funcția f(x) =
–5x + 1;
f
:
ℝ
→
ℝ
.
a) Calculați imaginea punctelor
–3, 0 și 3 prin funcția f
b) Calculați valoarea lui x atunci când funcția ia valoarea 4.
a) f(
–3) = –5
· (
–3) + 1 = 16
f(0) = 1
f(
–3) = –5
·
3 + 1 = –14
b) f(x) = 4 =
–5x + 1
– 5x = – 4 + 1
– 5x = – 3
x =
\(\frac{3}{5}\)
= 0,6
Deci f(0,6) = 4
