Arii și volume

Aria și volumul trunchiului de piramidă

Definiție:

Segmentul care unește mijloacele a două muchii ale bazelor, situate pe aceeași față laterală, se numește apotema trunchiului de piramidă regulată.

Definiție :

Aria laterală a trunchiului de piramidă este suma ariilor fețelor laterale.

Aria totală a trunchiului de piramidă este suma dintre aria laterală și ariile celor două baze ale trunchiului de piramidă.

Volumul trunchiului de piramidă cu aria bazei mari egală cu A _B , aria bazei mici egală cu A _b și cu înălțimea h este:

1. Fie un trunchi de piramidă cu baza mare pătrat de latură 9 cm, iar baza mică pătrat cu latura de 3 cm. Știind că apotema trunchiului este de 5 cm. Calculați aria totală și volumul trunchiului de piramidă.

Rezolvare

‎ P _B = 4 · 9 = 36 cm
‎ P _b = 4 · 3 = 12 cm
‎ A _B = 9 ² = 81 cm ²
‎ A _b = 3 ² = 9 cm ²
‎ A _l = 4 · Aria unei fețe laterale = 4 · Aria trapezului ADD 'A' = 4 · \(\frac{(AD + A'D')}{2}\) · M'M =
‎ = 4 · \(\frac{(9 + 3)}{2}\) · 5 = 4 · 6 · 5 = 120 cm ²
‎ A _t = 36 + 12 + 120 = 34 + 96 = 130 cm ²
‎
‎ Pentru a afla volumul trebuie sa aflăm înălțimea trunchiului de piramidă din triunghiul dreptunghic HMM '.
‎ Desen ăm apotema NN ' și înălțimile N 'G, M'H. N'M'HG este dreptunghi pentru c ă are toate unghiurile drepte. Pentru că triunghiul de piramidă este regulat, triunghiurile GN'N și HM'M sunt congruente deci și segmentele GN și HM sunt congruente.
‎ MN = 9cm; GH = 3cm ⇒ GN + HM = 9 − 3 = 6cm ⇒ GN = HM = 3cm
‎ Aflăm înălțimea trunghiului de piramidă din triunghiul dreptunghic HM 'M.
‎ M'H ² = MM' ² − HM ²
‎ M'H ² = 5 ² − 3 ² = 25 − 9 = 16 ⇒ M'H = 4cm
‎ V = \(\frac{4}{3}\) (36 + 12 + \(\sqrt{36 · 12}\) = \(\frac{4}{3}\) (48 + \(12\sqrt{3}\) = 4 · (16 + 4 \(\sqrt{3}\) ) = 64 + 16 \(\sqrt{3}\) cm ³
‎

2. Să se afle volumul unui trunchi de piramidă cu aria bazei mari de 36 cm ² și aria bazei mici de 4 ori mai mică știind că înălțimea trunchiului este de 12 cm.

Rezolvare

V = 4(36 + 9 + \(\sqrt{36 ·9 }\) ) = 4(36 + 9 + 18) = 4 · 63 = 252 cm ³