Numere Naturale

Înmulțirea numerelor naturale

Atunci când înmulțim două numere naturale obținem un al treilea număr natural. Numerele înmulțite se numesc factori iar rezultatul produs.

De exemplu:

- Ordinea în care apar termenii într-o înmulțire nu este importantă, produsul este același. Această proprietate se numește comutativitate .

De exemplu:

- Dacă într-o operație de înmulțire există doi sau mai mulți factori, aceștia pot fi grupați câte doi în moduri diferite, produsul este același. Această proprietate se numește asociativitate .

De exemplu:

- Dacă înmulțim un număr cu 1, numărul nu se modifică. Spunem că 1 este element neutru pentru înmulțire.

De exemplu:

- Înmulțirea este distributivă față de adunare ceea ce înseamnă că următorul calcul se poate realiza în două moduri :

Câteodată este mai simplu să rezolvăm o înmulțire folosind distributivitatea :

- Înmulțirea este distributivă față de scădere ceea ce înseamnă că următorul calcul se poate realiza în două moduri :

- Orice număr înmulțit cu zero este zero.

Exemplu :

1. Într-un port sunt 1 281 de containere galbene, de 3 ori mai multe containere albastre și de 5 ori mai multe containere verzi decât albastre. Câte containere sunt în total?

Rezolvare

1 281 · 3 = 3 843 (containere albastre)
‎ 3 843 · 5 = 19 215 (containere verzi).
‎ 1 281 + 3 843 + 19 215 = 24 339

2. Calculează următoarele produse: 10 000 · 4 123; 100 · 312; 540 · 100 000

Rezolvare

10 000 · 4 123 = 41 230 000
‎ 100 · 312 = 31 200
‎ 540 · 100 000 = 54 000 000

3. Calculează și vei avea o surpriză!
‎ 1 · 8 + 1 =
‎ 12 · 8 + 2 =
‎ 123 · 8 + 3 =
‎ 1234 · 8 + 4 =
‎ 12345 · 8 + 5 =
‎ 123456 · 8 + 6 =
‎ 1234567 · 8 + 7 =
‎ 12345678 · 8 + 8 =
‎ 123456789 · 8 + 9 =

Rezolvare

1 · 8 + 1 = 9
‎ 12 · 8 + 2 = 98
‎ 123 · 8 + 3 = 987
‎ 1234 · 8 + 4 = 9876
‎ 12345 · 8 + 5 = 98765
‎ 123456 · 8 + 6 = 987654
‎ 1234567 · 8 + 7 = 9876543
‎ 12345678 · 8 + 8 = 98765432
‎ 123456789 · 8 + 9 = 987654321

4. Maria a cumpărat 3 kg de roșii cu 7 lei kilogramul și 2 kg de căpșuni pentru dulceață cu 13 lei kilogramul. Câți bani a cheltuit în total? Ce rest primește de la 50 de lei?

Rezolvare

3 · 7 + 2 · 13 = 21 + 26 = 47 lei
‎ rest = 50 – 47 = 3 lei

5. Lumina călătorește prin spațiu cu o viteză de 300.000 km/s și durează 8 minute pentru a parcurge distanța de la Soare la Pământ. Determinați măsura distanței de la Pământ la Soare.

Rezolvare

Pentru că viteza ne este dată în secunde, trebuie să transformăm 8 minute în secunde.
‎ 1 minut = 60 secunde
‎ 8 minute = 60 · 8 = 480 secunde
‎ Distanța = timp · viteză
‎ 300.000 · 480 = 144.000.000 km este distanţa de la Pământ la Soare

6. Calculați:
‎ a) 2 · {7 + [351 · 51 – 7 · 21 – (999 – 59 · 4 – 9 · 4)]}

c) 1 000 · {1 000 000 + (3125 · 256) – (625 · 64)]

b) (1 324 · 120 – 14 · 530) – (3254 – 135 · 12) + (45 · 156 – 69 · 74) =

Rezolvare

a) Voi colora cu albastru calculele care urmează a fi efectuate :
‎ 2 · {7 + [351 · 51 – 7 · 21 – (999 – 59 · 4 – 9 · 4 )]} =
‎ 2 · {7 + [351 · 51 – 7 · 21 – ( 999 – 236 – 36)]} =
‎ 2 · {7 + [351 · 51 – 7 · 21 – ( 763 – 36 )]} =
‎ 2 · [7 + ( 351 · 51 – 7 · 21 – 727)] =
‎ 2 · [7 + ( 17 901 – 147 – 727)] =
‎ 2 · ( 7 + 17 027 ) = 2 · 17 034 = 34 068
‎ .
‎ b) 1 000 · {1 000 000 + (3125 · 256) – (625 · 64)] = 1000 ⋅ ( 1 000 000 + 800 000 – 40 000) = 1000 ⋅ ( 1 800 000 – 40 000) = 1000 ⋅ 1 760 000 = 1 760 000 000
‎ .
‎ c) (1 324 · 120 – 14 · 530) – (3 254 – 135 · 12) + (45 · 156 – 69 · 74) = (158 880 – 7 420) − (3 254 – 1 620) + (7 020 – 5 106) = (158 880 – 7 420) – (3 254 – 1 620) + (7 020 – 5 106) = 151 460 – 1 634 + 1 914 = 151 740

7. Este corect realizată înmulțirea? Dacă nu, arătați unde este greșeala.

Rezolvare

Nu este corect. Am marcat cu roșu greșeala apoi am făcut calculul corect.

8. Pentru a reduce costul apei calde menajere și pentru a proteja natura, un dezvoltator imobiliar dorește să monteze pe acoperișul fiecărei case construite, panouri solare. Un panou costă 1 790lei și el a calculat că are nevoie de două astfel de panouri pentru fiecare casă. În plus, fiecare casă mai are nevoie de câte un boiler la prețul de 1 934 lei și accesorii care țin de instalație în valoare de 985 lei. Montajul instalației pentru o casă are prețul de 890 lei iar în planul noului complex rezidențial sunt 29 de case.

a) Aflați care este investiția totală necesară.

b) Apa caldă pentru o casă, produsă convențional, costă în medie 356 lei pe lună. Instalația solară produce apă caldă 9 luni pe an. Aflați după câți ani costul total al apei calde începe să fie mai mic comparat cu producerea convențională bazată pe arderea gazelor naturale?

c) aflați suma economisită în întregul complex rezidențial într-o perioadă de 10 ani.

d) Explicați : de ce pentru perioade mai lungi, apa caldă produsă de instalația solară este mai ieftină în comparație cu cea produsă prin arderea gazelor naturale? Ce avantaje în plus are energia solară?

Rezolvare

a) (1 790 · 2 + 1 934 + 985 + 890) · 29 = 7 389 · 29 = 214 281 lei
‎ b) Aflăm costul apei calde produsă convențional într-un an : 356 · 12 = 4 272
‎ Costul instalației pentru o casă aflat la punctul a) este de 7 389lei.
‎ Observăm că dacă luăm în considerare doar primul an, costul total al apei calde este de :
‎ - 4 272 utilizând combustibil convențional
‎ - costul instalației + 3 luni convențional = 7 389 + 3 · 356 = 7 389 + 1068 = 8 457 lei
‎ 4 272 < 8 457. Înseamnă că este mai ieftină apa caldă produsă convențional.
‎ Dacă luăm în considerare doi ani, atunci :
‎ - 4 272 · 2 = 8 544 convențional
‎ - costul instalației + 6 luni convențional = 7 389 + 6 · 356 = 7 389 + 2136 = 9 525 lei
‎ 8 544 < 9 525. Înseamnă că tot este mai ieftină apa caldă produsă convențional.
‎ Dacă luăm în considerare trei ani, atunci:
‎ - 4 272 · 3 = 12 816 convențional
‎ - costul instalației + 9 luni convențional = 7389 + 9 · 356 = 7 389 + 3204 = 10 593 lei
‎ 12 816 > 10 593. Înseamnă că apa caldă de la instalația solară devine mai ieftină după trei ani.
‎ Răspuns : 3 ani pentru că 10 593 < 12 816. Adică pe o perioadă de trei ani sau mai mare
‎ costul apei calde de la instalația solară este mai mic decât costul apei calde produsă prin arderea gazului.
‎ c) Dacă luăm în considerare zece ani atunci :
‎ - 4272 · 10 = 422 720 convențional
‎ - costul instalației + 30 luni convențional = 7389 + 30 · 356 = 7389 + 10 680 = 18 069 lei
‎ 422 720 – 18 069 = 404 651 lei economisiți în pentru o casă.
‎ 404 651 · 29 = 12 314 879 lei economisiți în întregul complex rezidențial.
‎ d) Prețul apei calde produsă convențional este constant în fiecare an. Eventual se poate mări dacă prețul gazului metan crește. Prețul apei calde produsă cu ajutorul soarelui constă doar în prețul instalației care chiar dacă este mare, se plătește doar în primul an. Apoi, în anii următori apa caldă este gratuită. Cu cât se iau în calcul mai mulți ani, cu atât prețul instalației se împarte la un număr mai mare și devine mai mic.
‎ Avantajele energiei solare :
‎ - Nu produce gaze cu efect de seră și astfel ajutăm la salvarea planetei.
‎ - Dacă ne raportăm la perioade mai lungi, apa caldă produsă cu energia de la soare este mai ieftină.
‎ - Gazele naturale se găsesc din ce în ce mai greu, exploatarea lor este din ce în ce mai dificilă iar transportul este din ce în ce mai lung. Există acum conducte de mii de km între zăcăminte și locul unde gazele naturale se folosesc. Ele se vor termina la un moment dat. Folosind de pe acum energia solară ne pregătim pentru viitor!

9. Jocul "Darts" are originea în Anglia și are următoarele reguli:
‎ Tabla de Darts este un disc împărțit în 20 de sectoare numerotate de la 1 la 20 dar nu în ordine. În centru este o zonă denumită "bullseye" iar această zonă este înconjurată de o altă zonă denumită zona triplă. Dincolo de această zonă este zona dublă apoi există zona exterioară.

Jucătorii aruncă pe rând câte trei "darts" sau săgeți. La începutul jocului, fiecare jucător are 501 puncte și cu fiecare aruncare se scad puncte din acest total.

 Pentru o aruncare în centru "bullseye", se scad 50 de puncte.

 O aruncare în inelul exterior valorează 25 de puncte.

 O aruncare în zona triplă valorează 3 x numărul zonei.

 O aruncare în zona dublă valorează 2 x numărul zonei.

Obiectivul este ca jucătorii să-și reducă scorul la 0. Există și o condiție supliementară: dacă scorul devine 1 sau mai mic decât zero atunci se revine la scorul de la începutul aruncării. Un jucător nu este obligat să arunce toate săgețile. El poate câștiga doar cu o săgeată aruncată sau cu două.

Într-o zi ploioasă John, Nancy și Thomas se joacă darts în garajul tatălui lui John. Ei aruncă în ordinea alfabetică a prenumelor după cum urmează :

Urmează la aruncare John. De câte puncte are nevoie John pentru a câștiga? În ce zonă trebuie să ajungă cele trei săgeți? Găsiți cel puțin o soluție.

Rezolvare

Punctajul total:

John: 32 + 30 + 25 + 25 + 34 + 39 + 57 + 39 + 18 + 45 + 50 + 42 = 436 p.
‎ Nancy: 50 + 25 + 22 + 8 + 60 + 8 + 50 + 25 + 16 + 60 + 25 + 25 = 374 p.
‎ Thomas: 22 + 18 + 34 + 48 + 25 + 25 + 54 + 32 + 25 + 18 + 20 + 50 = 371 p.

Până la 501 puncte, John trebuie să mai marcheze încă 501 – 436 = 65 p.
‎ O variantă ar fi 15 · 2 + 3 · 3 + 13 · 2 = 30 + 9 + 26 = 65 p.
‎ Altă variantă ar fi 25 + 20 · 2 = 25 + 40 = 65 p.
‎ Găsește altă variantă!

Chestionar

Puncte acumulate: 0 din 7

Ce proprietate a înmulțirii este arătată?

1. 947 · 56 = 56 · 747

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

Ordinea factorilor nu este importantă în operația de înmulțire.

2. 5 · (22 + 30) = 110 · 150

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

În acest caz se observă distributivitatea înmulțirii față de adunare.

3. 999 · 1 = 999 · 1 = 999

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

Egalitatea de mai sus evidențiază elementul neutru al operației de înmulțire: 1.

4. 8 · (125 – 25) = 8 · 125 – 8 · 25

Explicație
Vizibil doar după ce validați răspunsul.

În acest caz se observă distributivitatea înmulțirii față de scădere.

5. (7 · 9) · 39 = 7 · (9 · 39)

6. 52 · 17 + 17 · 46 = 17 · (52 + 46)

7. 1000 · 0 = 0

Glume cu tâlc

Cum explicați?

Explicație

Semnul înmulțirii se poate omite numai acolo unde nu se produc confuzii.