Triunghiul Metoda triunghiurilor congruente
Metoda triunghiurilor congruente
Este o metodă de rezolvare a problemelor de geometrie, sau o metodă care ne ajută să demonstrăm teoreme. Iată, avem aici o problemă. Două drepte se intersectează într-un punct. Le notăm cu a şi b, iar punctul de intersecţie cu M. Apoi marcăm 4 punct pe aceste drepte. A, B, C şi D. Scriem în limbaj matematic ce am spus până acum. Dreapta a intersectată cu dreapta b ne dă punctul M. Vedeţi, dreapta a este o mulţime de puncte, dreapta b este altă mulţime de puncte, intersecţia dintre aceste mulţimi de puncte ne dă un singur punct. Poate să ne dea două? Nu, dacă a şi b sunt drepte nu are cum să ne dea două puncte intersecţia lor. Dar poate să fie niciun punct intersecţia lor, adică mulţimea vidă? Da, atunci când dreptele sunt paralele. După ce am marcat aceste 4 puncte am format 4 segemente: MC, MB, MA şi MD. Problema ne spune că segmentul MC este congruent cu segmentul MD, adică M este mijloc în segmentul CD. Problema ne mai spune că segementul MB este congruent cu segmentul MA, adică M este mijloc în segmentul AB. Dacă unim punctele AD şi punctele CB formăm alte două segmente. Problema ne cere să demonstrăm că aceste două segmente sunt congruente, adică AD congruent cu BC.
Iată, aceasta este concluzia la care trebuie să ajungem. Cum ajungem la această concluzie? Ne ajută metoda triunghiurilor congruente, adică demonstrăm că aceste triunghiuri, MAD şi MBC sunt congruente. Iar dacă triunghiurile sunt congruente, AD şi BC sunt laturi omoloage în triunghiuri congruente, deci congruente. Să purcedem la demonstraţie.
Ce caz de congruenţă folosim? În primul rând avem aceste două unghiuri opuse la vârf, deci congruente, şi laturile care stau lângă acest unghi sunt congruente, după cum tocmai am aflat. Deci avem cazul clasic „latură, unghi, latură”. Arătăm că MC este congruent cu MD, avem o latură, arărăm că BMC este congruent cu AMD pentru că sunt unghiuri opuse la vârf, apoi arărăm că MB este congruent cu MA. Putem spune conform cazului de congruenţă al triunghiurilor oarecare „latură, unghi, latură” că triunghiul BMC este congruent cu triunghiul DMA. Am scris corect? Eu zic că nu. Sesizaţi greşeala? Am spus triunghiul BMC congruent cu DMA. De preferat ca triunghiurile să fie specificate conform congruenţei lor, adică conform laturilor omoloage. Dacă am început cu BM în acest triunghi, pe celălalt triunghi încep să-l descriu cu latura omoloagă. Care e latura omoloagă lui BM? AM. Deci ar trebui scris AMD. Deci corect este să notăm triunghiurile congruente în acelaşi fel, adică să începem şi să terminăm tot cu laturi omoloage. Bun, să continuăm, aceste două triunghiuri fiind congruente, rezultă că laturile AD şi BC, fiind omoloage, adică opuse unghiurilor congruente sunt congruente, ceea ce era de demonstrat.
Vă propun altă problemă care se rezolvă prin metoda triunghiurilor congruente. Iarăşi avem drepte care se intersectează. Dreapta a se intersectează cu dreapta b şi cu dreapta c. Dar felul în care se intersectează este ceva mai special, pentru că în jurul punctului O se formează unghiuri congruente. Toate aceste 6 unghiuri sunt cingruente. Deci dreptele noastre se intersectează în punctul O, iar unghiurile din jurul punctului O sunt congruente. Iarăşi definim segmente pe fiecare din aceste drepte A, B, C, D, E şi F, formează segemnte congruente cu punctul O. Iată, toate aceste segmente sunt congruente: AO, BO, CO, DO, EO, FO. Ni se cere să aflăm unghiurile formate dacă unim aceste puncte, de exemplu unim A cu B. Se formează aici două unghiuri. Care este măsura acestor unghiuri? Observaţi că ipoteza nu ne spune nimic despre măsura unghiurilor, dar ne cere totuşi măsura acestor unghiuri, şi ni se mai cere să demonstrăm că toate aceste segmente sunt congruente: AB, BC, CD, DE, EF şi AF. Cum procedăm? Observăm că se formează mai multe triunghiuri, pentru că sunt 6 unghiuri în acest vârf avem 6 triunghiuri aici. Oare nu sunt ele congruente? Am putea demonstra congruenţa acestor triunghiuri? Avem laturi congruente şi unghiuri congruente. Deci ne aflăm în cazul de congruenţă „latură, unghi, latură” între nici mai mult, nici mai puţin de 6 triunghiuri. Scriem. Aceste unghiuri sunt congruente, aceste laturi sunt congruente, rezultă conform cazului de congruenţă „latură, unghi, latură” că triunghiurile noastre, toate cele 6 sunt congruente. Vedeţi, le-am scris în ordinea laturilor omoloage. Unghiul O este tot timpul la mijloc, pentru că el este congruent între toate cele 6 triunghiuri, şi laturile AO, BO, CO sunt congruente şi aşa mai departe. Din faptul că aceste triunghiuri sunt congruente, rezultă că celelalte laturi omoloage sunt congruente. Adică AB congruent cu BC congruent cu CD, cu DE, cu EF şi cu FA. Toate sunt opuse unghiurilor congruente, ceea ce era de demonstrat.
Vedeţi, concluzia nu trebuie demonstrată neapărat în ordinea în care apare. O demonstrăm aşa cum putem. Dar acum ne concentrăm asupra unghiurilor. Cum putem afla măsura lor, în condiţiile în care nu ne-au dat nicio măsură pe aici? Ne aducem aminte că suma unghiurilor formate în jurul unui punct este de 360 de grade. Dar unghiurile noastre sunt congruente şi sunt 6. Ca să aflăm măsura unuia dintre ele, trebuie să-l luăm pe 360 de grade şi să-l împărţim la 6, ceea ce vom şi face. Unghiul BOA este egal cu 360 de garde împărţit la 6 şi este egal cu 60 de garde. Deci toate aceste unghiuri au 60 de grade. Ce interesant! Dar cum aflăm unghiurile acestea? Observăm că triunghiul BOA este isoscel, pentru că are două laturi congruente. Şi am demonstrat în altă lecţie că în triunghiul isoscel, unghiurile formate de laturile congruente cu baza sunt congruente. Deci măsura unghiului OAB este egală cu măsura unghiului OBA. Dar suma lor este ştiută, pentru că suma unghiurilor într-un triunghi este de 180 de grade, iar vârful are 60 de grade, tocmai ce am aflat. Deci 180 minus 60 este 120, suma lor. Iată, avem două unghiuri congruente cărora le ştim şi suma. Pentru a afla măsura lor, trebuie să împărţim suma la 2. Rezultă că măsura unghiului OAB este egală cu măsura unghiului OBA, din faptul că triunghiul este isoscel şi este egală cu 60 de grade, adică 120 împărţit la 2. Iată, am aflat şi măsura acestor două unghiuri, chair dacă nu ne-a fost dată nicio măsură, şi observăm că este tot de 60 de grade, adică toate unghiurile acestui triunghi au 60 de grade.
O să învăţaţi mai târziu că acest fel de triunghi se numeşte triunghi echilateral. Deci triunghiul echilateral are unghiurile de 60 de grade toate congruente şi toate laturile congruente. „echi” înseamnă la fel, „lateral”, laturi, deci triunghiul cu toate laturile congruente.
Şi vă mai spun ceva interesant. Observaţi că aceste segmente care pleacă din O au aceeaşi măsură. Unde am mai întâlnit noi segmnte care pleacă dintr-un punct şi au aceeaşi măsură? La cerc. Punctele A, B, C, D, E şi F sunt egal distanţate de O, care poate fi centrul cercului pe care toate aceste puncte sunt aşezate. Iată cum putem forma într-un cerc 6 triunghiuri echilaterale şi o figură geometrică a cărui nume s-ar putea să-l ştiţi. Câte laturi are? Deci el este un hexagon. Este un poligon cu 6 laturi congruente. Iată cum desenăm, de fapt, hexagonul. O să aflaţi mai târziu în geometrie că hexagonul are multe alte secrete şi multe lucruri interesantre pot fi realizate cu un hexagon.
Urmăriţi seria cumpletă de lecţii video şi exerciţii rezolvate video pe mquest.ro .